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函数定义域与思维品质

来源: 数学教研组 时间: 2011-09-26  浏览:

数学教研组 周健强

    思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一,函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
    一、函数关系式与定义域
    函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域,否则所求函数关系式可能是错误。如:
    例1:某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为100m,求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?
    解:设矩形的长为x米,则宽为(50-x)米,由题意得:
    故函数关系式为:S=x(50-x)
    如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时,S的值是非正数,即矩形的面积为非正数,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量x的范围:0<x<50  即:函数关系式为:S=x(50-x)(0<x<50)
    这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点,就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
    二、函数最值与定义域函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域,将会导致最值的错误。如:
    例2:求函数y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值。
    解:∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4    ∴当x=1时y
min
=-4,
    初看结论,本题似乎没有最大值,只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路,而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现,也说明学生思维缺乏灵活性。
    其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在R上适用,而在指定的定义域区间[p,q]上,它的最值应分如下情况:⑴当-b
    2a<p时,y=f(x)在[p,q]上单调递
增函数f(x)
min
=f(p),f(x)
max
=f(q);⑵当-b
    2a>q时,y=f(x)在[p,q]上单调递
减函数f(x)
max
=f(p),f(x)
min
=f(q);
⑶当p≤-b
2a≤q时,y=f(x)在[p,q]上最值
情况是:f(x)
min
=f(-b
    2a)=4ac-b2
    4a

f(x)
max
=max{f(p),f(q)}即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值。故本题还要继续做下去:
    ∵-2≤1≤5  ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3   f(5)=52-2×5-3=12  ∴f(x)
max
=max{(-2),f(5)}=f(5)=12   ∴函数y=x2-2x-3在[-2,5]上的最小值是-4,最大值是12。
    这个例子说明,在函数定义域受到限制时,若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响,并在解题过程中加以注意,便体现出学生思维的灵活性。
    三、函数值域与定义域
    函数的值域是该函数全体函数值的集合,当定义域和对应法则确定,函数值也随之而定。因此在求函数值域时,应注意函数定义域。如:
    例3:求函数4x-5+ 2x-3姨 的值域。
    错解:令t= 2x-3姨 ,则2x=t2+3  ∴y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+1
4)2+78≥78  故所求的函数值域是[7
8,+∞)。
    剖析:经换元后,应有t≥0,而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数,
    所以当t=0时,y
min
=1。
    故所求的函数值域是[1,+∞)。
    以上例子说明,变量的允许值范围是何等的重要,若能发现变量隐含的取值范围,精细地检查解题思维的过程,就可以避免以上错误结果的产生。也就是说,学生若能在解好题目后,检验已经得到的结果,善于找出和改正自己的错误,善于精细地检查思维过程,便体现出良好的思维批判性。
    四、函数单调性与定义域
    函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时,函数值随着增减的情况,所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如:
    例4:指出函数f(x)=log
2
(x2+2x)的单调区间。
    解:先求定义域:
    ∵x2+2x>0   ∴x>0或x<-2   ∴函数定义域为(-∞,-2)Y(0,+∞)。
    令u=x2+2x,知在x∈(-∞,-2)上时,u为减函数,在x∈(0,+∞)上时,u为增函数。又∵f(x)log
2
u在(0,+∞)上为增函数。
∴函数f(x)=log
2
(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数。
    即函数f(x)=log
2
(x2+2x)的单调递增区间(0,+∞),单调递减区间是(-∞,-2)。
    如果在做题时,没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性,就说明学生对函数单调性的概念一知半解,没有理解,在做练习或作业时,只是对题型,套公式,而不去领会解题方法的实质,也说明学生的思维缺乏深刻性。
    五、函数奇偶性与定义域
    判断函数的奇偶性,应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称,如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称,则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如:
    例5:判断函数y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性。
    解:∵2∈[-1,3]而-2 [-1,3]  ∴定义域区间[-1,3]关于坐标原点不对称
    ∴函数y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函数.
    若学生像以上这样的过程解完这道题目,就很好地体现出学生解题思维的敏捷性
    如果学生不注意函数定义域,那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:
    ∵f(-x)=(-x3)=-x3=-f(x)  ∴函数y=x3,x∈[-1,3]是奇函数。
    错误剖析:因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成,这是学生极易忽视的步骤,也是造成结论错误的原因。
    综上所述,在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中,若能精细地检查思维过程,思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说),对解题结果有无影响,就能提高学生质疑辨析能力,有利于培养学生的思维品质,从而不断提高学生思维能力,进而有利于培养学生思维的创造性。
 

(编辑:李智强 )